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Spiego a Pandora il segno meno

Dopo aver detto a Pandora tutto quello che sapevo sul segno più , gli dissi – adesso ti spiego tutto quello che so sul segno meno e Pandora – ok . Dopo iniziai a spiegare a Pandora tutto quello che sapevo sul segno meno –  Il simbolo meno è un comune carattere tipografico di tipo matematico-scientifico, come anche il più, il per ed il diviso; esso è graficamente costituito soltanto da una lineetta orizzontale. Il suo nome viene dal latino minus, un avverbio che significa, appunto, “meno”; sempre in latino, il verbo minuo, is, minui, minutum, ĕre vuol dire “diminuire”.

Utilizzo

Il simbolo meno può assume significati differenti a seconda di dove esso compare:

 In matematica, esso indica il concetto di diminuzione. Quando da un numero ne viene sottratto un altro, il meno viene interposto tra le due cifre, di cui la prima si chiama “minuendo” e la seconda “sottraendo”, dando così una sottrazione; quanto segue fa da esempio a ciò che è stato detto sopra: m − n = q.

 In insiemistica, il segno meno posto come apice su di una lettera maiuscola può significare che dell’insieme indicato si considerano solo i valori negativi: Z−: (−∞ ; 0).

 Infine, in chimica, il meno può indicare solo un anione, ovvero uno ione negativo; esso si pone come apice destro sopra al simbolo di un elemento chimico che ha assunto degli elettroni in più rispetto alla sua forma neutra. Un esempio di ciò è la seguente scrittura: NaCl → Na+ + Cl− .

Codifica del carattere

I simboli del più, del meno e del trattino-menoLettura Carattere Unicode ASCII URL HTML (altri)

 Meno − U+2212 − o − o −

 Trattino-meno – U+002D – %2D

Il segno meno dell’Unicode è progettato in modo da avere la stessa lunghezza ed altezza del più e del segno di uguale. In molti set di caratteri questi simboli hanno lo stesso peso delle cifre in maniera tale da facilitare l’allineamento dei numeri nelle tabelle.

Il simbolo trattino-meno (-) è la versione ASCII del segno meno e vale anche come trattino. È normalmente più corto del segno più e talvolta ha un’altezza differente. Può venir utilizzato al posto del vero carattere meno quando il set di caratteri è limitato all’ASCII.

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Spiego a Pandora il segno più

Dopo aver spiegato a Pandora tutto quello che c’ e da sapere sulla moltiplicazione , gli dissi – adesso ti spiego tutto quello so sul segno più e Pandora – ok , inizia a spiegare quando vuoi . Io allora iniziai a spiegare a Pandora tutto quello che c’ e da sapere sul segno più – Il simbolo più è un comune carattere tipografico di tipo matematico-scientifico; esso è visivamente formato da una croce dai bracci perpendicolari sistemati nei sensi verticale ed orizzontale. Il suo nome viene dal latino plus, pluris, sostantivo di genere neutro significante “più, di più”.

Utilizzo

Il più assume significati differenti a seconda di quale sia il contesto in cui si trova:

 In matematica, esso rimanda all’idea di somma. Quando un numero viene aggiunto ad un altro, il più viene interposto tra le due cifre dando così un’addizione; il seguente è un esempio di quanto detto sopra: m + n = p. Se un numero deve essere sommato molte volte a se stesso si preferisce utilizzare il segno per al posto del più avendo cura che i due numeri moltiplicati siano l’uno la cifra da addizionare molte volte e l’altro il numero di volte che essa deve essere aggiunta; si ottiene quindi una scrittura simile: n + n + n = 3 × n.

 In insiemistica, il segno più posto come apice su di una lettera maiuscola può indicare che dell’insieme indicato si considerano solo i valori positivi: Z+: N + {0}.

 Infine, in chimica, il più può indicare uno ione positivo se usato come apice oppure che ad una sostanza se ne aggiunge un’altra se si trova in posizione normale; un esempio per entrambi i casi è il seguente: Na+ + Cl- → NaCl.

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Spiego a Pandora la divisione

Dopo aver spiegato a Pandora tutto quello che sapevo sulla moltiplicazione , gli dissi – adesso ti spiego tutto quello che so sulla divisione e Pandora – ok , inizia pure a spiegare quando vuoi . Io allora iniziai a spiegare a Pandora tutto quello che so sulla divisione – In matematica, specialmente in aritmetica elementare, la divisione è l’operazione aritmetica inversa della moltiplicazione.

Più specificatamente, se

 a × b = c,

dove b è diverso da zero, allora

 a = c : b

(da leggersi “c diviso b”). Ad esempio, 6 : 3 = 2, dato che 2 × 3 = 6.

La divisione per zero non viene definita.

Nell’espressione sopra, a rappresenta il quoziente (quoto nel caso di divisione senza resto), b il divisore (cioè la quantità che divide) e c il dividendo (cioè la quantità da dividere).

La divisione gode della proprietà invariantiva ovvero il quoziente non cambia se dividendo e divisore sono moltiplicati per una stessa quantità diversa da zero (il resto invece risulta moltiplicato per quella quantità).

L’espressione c : b viene anche scritta “c/b” (letta “c su b”, o “c fratto ‘b”, o “c b-esimi” ; se b è un intero positivo diverso da 2 questo si legge come ordinale, plurale se c è diverso da 1, es. 2/3 si legge “due terzi” ma 3/2 si legge “tre mezzi”), specialmente nelle matematiche superiori, incluse le applicazioni alla scienza e all’ingegneria, e nei linguaggi di programmazione. Tale forma viene anche spesso usata come forma finale di una frazione.

La divisione fra due numeri interi a e b, con b≠0, consiste invece nel trovare una coppia di interi q ed r, detti quoziente e resto, tali che a = b × q + r e 0 ≤ r < | b |. (Si dimostra che tale coppia di interi esiste ed è unica). Quando r = 0, il risultato della divisione q viene talvolta detto quoto.

In inglese, il simbolo della divisione ha una barretta orizzontale tra i due punti: c ÷ b. In italiano questo uso si è perso[senza fonte], probabilmente perché le macchine da scrivere prima e i calcolatori poi non permettono di digitare direttamente tale simbolo[senza fonte]; nell’uso inglese, invece, i due punti si utilizzano solo per il concetto correlato di rapporto.

Computazione della divisione

 Utilizzando la tavola pitagorica, si possono dividere due numeri interi con carta e penna.

Se il dividendo ha una parte frazionaria espressa come frazione decimale, si può continuare l’algoritmo dopo le unità; se è il divisore ad avere una parte frazionaria, basta spostare la virgola a destra dello stesso numero di posizioni – aggiungendo se necessario degli zeri a destra del dividendo – fino a che il divisore diventa un numero intero. Pertanto, per fare la divisione 245,7 : 3,78 si eseguirà quella equivalente 24570 : 378.

Un’altra possibilità che si ha per semplificare i conti è vedere se dividendo e divisore abbiano un fattore comune, ed eliminarlo; la divisione di cui sopra è dunque equivalente a 12285 : 189 (eliminando il fattore 9) e ancora a 1365 : 21 (eliminando un fattore 3), 455 : 7 (con un fattore 7), da cui si ottiene subito il risultato finale 65.

Si può calcolare la divisione con un abaco, scrivendo ripetutamente il dividendo e sottraendo man mano il divisore, spostato a sinistra quanto più possibile. Ogni volta che occorre riportare a destra il divisore, si passerà a una nuova cifra anche per il quoziente. Il procedimento risulta pertanto abbastanza simile a quello della divisione su carta, anche se in quel caso c’è la scorciatoia di utilizzare delle moltiplicazioni per ridurre il numero di sottrazioni necessarie.

Nella aritmetica modulare, alcuni numeri hanno un inverso moltiplicativo rispetto al modulo: ad esempio, in base 7, 3 ha come inverso 5. In questo caso, la divisione per 3 può essere calcolata moltiplicando per 5; questo approccio è utile in computer che non hanno una istruzione di divisione veloce.

Divisione tra interi

 La divisione tra interi – anche non considerando la divisione per zero, che non è definita, non è un’operazione chiusa; vale a dire, esistono coppie di numeri a e b tali che non esiste alcun intero c per cui a : b = c. In questi casi si possono dare diverse possibili risposte:

 Come per ogni operazione non chiusa si può dare semplicemente la non definizione dell’operazione: 39 non può essere diviso per 15.

 Si può immergere l’insieme dei numeri interi in un insieme in cui l’operazione è chiusa (nel nostro caso si utilizzano tipicamente il campo dei razionali o dei reali) e dare la risposta in questo nuovo insieme: ad esempio 39 : 15 = 2,6, oppure .

 Si può dare la risposta sotto forma di quoziente e resto usando la divisione euclidea (si veda anche dominio euclideo): nel nostro esempio si scriverà 39 : 15 = 2 con resto 9. Questo è l’approccio che si usa quando vengono insegnate le divisioni nella scuola elementare.

 Da ultima, è molto utilizzata pure la divisione intera, ovvero considerare solamente il quoziente come risposta, eliminando il resto: 39 : 15 = 2. Chiaramente questa operazione non è più l’operazione inversa della moltiplicazione.

Quando si fa una divisione tra interi in un linguaggio di programmazione occorre verificare attentamente la definizione. Nel linguaggio C, ad esempio, la divisione tra interi è definita come nel caso 4 qui sopra, e il risultato sarà pertanto un intero troncato; in altri linguaggi come MATLAB, invece, si inizia a convertire gli interi in numeri reali (o più correttamente numeri di macchina), e si ottiene così un numero reale come risposta, come nel caso 2 sopra.

Divisione di numeri razionali

A differenza del caso precedente, i numeri razionali sono chiusi rispetto alla divisione, se il divisore non è 0. Si può definire il risultato della divisione tra due numeri razionali p/q e r/s come il valore

Tutti e quattro i valori sono interi, e solo p può valere 0. Questa definizione assicura che la divisione è l’operazione inversa della moltiplicazione: si ricava infatti subito che

Casi particolari della divisione

I casi particolari riguardano l’operazione di divisione quando 0 è il dividendo o il divisore. Il risultato di queste operazioni può essere indeterminato oppure impossibile. Detto a un qualsiasi numero reale diverso da zero, vale che:

 Caso 1: 0 : a = 0

Si verifica facilmente grazie alla definizione: l’unico numero che moltiplicato per un numero non nullo dà zero è lo zero stesso in quanto vale la legge di annullamento del prodotto.

 Caso 2: a : 0 = ?

 Caso 3: 0 : 0 = ?

Anche in questi due ultimi casi, il metodo per risolvere l’impasse è considerare la definizione dell’operazione di divisione, cioè come l’inverso della moltiplicazione. Risolvere i casi 2 e 3 equivale a cercare la soluzione dell’equazione 0 × x = a; questa ha:

 nessuna soluzione se a è diverso da 0 (caso 2): non esiste un risultato della divisione di a per 0, l’operazione è impossibile;

 infinite soluzioni se a è uguale a 0 (caso 3): l’operazione 0 : 0 è indeterminata o indefinita.

Divisione di numeri reali

Il risultato della divisione di due numeri reali è un altro numero reale, se il divisore non è 0. Dati a e b, si definisce a/b = c se e solo se a = cb e b ≠ 0.

Divisione di numeri complessi

 Anche per i numeri complessi, così come per i numeri reali, la divisione è un’operazione chiusa eccetto il caso in cui il divisore sia zero, nel qual caso l’operazione non è definita.

Se si esprimono i numeri complessi con le comuni coordinate, il risultato della divisione di (p + iq) per (r + is), dove p, q, r e s sono numeri reali e r e s non possono essere entrambi nulli, è dato da

Se i numeri complessi sono espressi mediante le coordinate polari, l’espressione è più semplice da esprimere e ricordare: il risultato della divisione tra peiq e reis, con p, q, r e s numeri interi e r diverso da zero, è dato da

Divisione di polinomi

La divisione tra due polinomi (a coefficienti interi) può anch’essa venire definita come l’operazione inversa della moltiplicazione: come nel caso dei numeri interi, generalmente si otterrà un polinomio quoziente e un resto. Per maggiori informazioni su come viene condotta l’operazione, si veda la regola di Ruffini.

Divisione in algebra astratta

Nelle algebre astratte, come quella delle matrici e nei quaternioni, frazioni come sono tipicamente definite come oppure , quando b è un elemento invertibile (vale a dire, esiste un altro elemento c tale che bc = cb = 1, dove 1 è l’identità moltiplicativa; l’elemento c viene generalmente scritto come b−1). In un dominio d’integrità, in cui possono non esistere gli inversi, più che di “divisione” si può parlare di cancellazione, nelle equazioni della forma ab = ac o ba = ca, dove a viene cancellato da entrambi i membri; la cancellazione (sinistra o destra rispettivamente) può essere effettuata in un ogni anello.

Divisione ed analisi matematica

 La funzione quoziente di due funzioni f e g è la funzione h il cui valore in un punto x è dato da . È definita nell’intersezione dei due domini di f e g, ad eccezione dei valori x che annullano la g.

La derivata del quoziente di due funzioni è data dalla regola del quoziente:

Non esiste una regola generale per integrare il quoziente di due funzioni.

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Spiego a Pandora la moltiplicazione

Dopo aver detto a Pandora tutto quello che sapevo sulla sottrazione , gli dissi – adesso ti spiego tutto quello che so sulla moltiplicazione e Pandora – ok , iniziai a spiegare quando vuoi tu . Io allora iniziai a spiegare a Pandora tutto quello che sapevo sulla moltiplicazione – La moltiplicazione è una delle quattro operazioni fondamentali dell’aritmetica. È un modo rapido per rappresentare la somma di numeri uguali. Il risultato di una moltiplicazione è chiamato prodotto, mentre i due numeri moltiplicati sono detti fattori se considerati insieme, e rispettivamente moltiplicando e moltiplicatore se presi individualmente.

Notazione

Nella scrittura matematica, esistono due diversi simboli utilizzati per indicare la moltiplicazione: entrambe le seguenti notazioni significano “cinque volte due” ed entrambe si leggono “cinque per due”: 5 x 2 . Qualora i due moltiplicandi non siano scritti in cifre, e quindi non ci sia il rischio di equivoco, è possibile anche semplicemente giustapporli, come in:

 2(β + 2) ;

anche per leggere queste formule vale lo stesso principio: se non c’è rischio di equivoco si può omettere il “per”, come nella prima (“due beta”), altrimenti verrà detto, come nella seconda (“due per, aperta parentesi, beta più due, chiusa parentesi” o “due per, tra parentesi, beta più due”)o infine “due che moltiplica beta più due”.

Nei linguaggi di programmazione e nelle calcolatrici, la moltiplicazione viene solitamente indicata con l’asterisco (“*”), grazie ad una consuetudine nata dal linguaggio di programmazione FORTRAN[senza fonte].

Definizione per numeri naturali

 La definizione del prodotto di due numeri interi positivi n e m non è altro che:

o per dirla in maniera più naturale, ” m volte n”, come si può vedere espandendo la sommatoria:

 m × n = n + n + n + … + n

Quindi per esempio

 5 × 2 = 2 + 2 + 2 + 2 + 2 = 10

 2 × 5 = 5 + 5 = 10

 4 × 3 = 3 + 3 + 3 + 3 = 12

 6 × m = m + m + m + m + m + m

Proprietà algebriche

 A partire dalla definizione, è facile dimostrare che la moltiplicazione ha le proprietà:

 Proprietà commutativa

 Non ha importanza l’ordine con cui vengono moltiplicati due numeri. Infatti, per ogni coppia di numeri x e y,

È importante sottolineare che questa proprietà vale solo per i numeri (interi, razionali, reali, complessi), ma non vale sempre, ad esempio non vale quando si moltiplicano tra loro matrici e quaternioni.

 Proprietà associativa

 Per ogni terna di numeri x, y e z,

cioè non è importanza l’ordine con cui vengono eseguite le operazioni se queste coinvolgono solo le moltiplicazioni.

 Proprietà distributiva rispetto all’addizione

 Si può “distribuire” la moltiplicazione ai vari addendi di una somma:

Esistenza dell’identità

 Ogni numero moltiplicato per 1 è pari a se stesso:

Il numero 1 è detto anche elemento neutro per la moltiplicazione.

 Elemento zero

 La moltiplicazione di qualsiasi numero per zero ha zero come risultato:

per un qualunque x (finito).

 Questa definizione è coerente con la proprietà distributiva, infatti:

Esistenza dell’inverso

 Qualsiasi numero x, ad eccezione dello zero, ha un inverso rispetto alla moltiplicazione, , cioè un numero definito in modo tale che: x x ( 1/x) = 1 .

La moltiplicazione con gli assiomi di Peano

Nel libro Arithmetices principia, nova methodo exposita, Giuseppe Peano propose un nuovo sistema assiomatico per la moltiplicazione, basato sugli assiomi per i numeri naturali: a x 1= a , a x b = ( a x b ) +b .

Qui b’ rappresenta l’elemento dei numeri naturali successivo di b. Con gli altri nove assiomi di Peano, è possibile provare le regole comuni della moltiplicazione, come la proprietà distributiva e associativa. Questa nuova assiomatizzazione permette anche di costruire una possibile definizione ricorsiva della moltiplicazione.

Numeri negativi

Estendiamo l’operazione di moltiplicazione al caso dei numeri negativi, definendo quanto segue: dato x numero naturale

dove con – x si intende l’inverso additivo di x :

Da qui abbiamo che la moltiplicazione di interi qualunque si riduce alla moltiplicazione di interi positivi e di − 1.

La regola pratica “meno per meno fa più” ha un’interpretazione anche nella vita reale. Supponiamo di guadagnare m euro l’anno; tra n anni avremo mn euro (un numero positivo), mentre se questo guadagno era iniziato nel passato allora n anni fa (cioè “tra meno n anni”) avevamo mn euro in meno (un numero negativo). Se invece perdessimo m euro l’anno (cioè guadagnassimo “meno m euro”), tra n anni ne avremo mn in meno, ma n anni fa ne avevamo mn in più di quanti ne abbiamo ora!

 Numeri razionali, reali e complessi

 La definizione di moltiplicazione si può infine estendere ai numeri razionali, ai numeri reali, e ai numeri complessi.

Per i numeri razionali abbiamo che

Per i numeri reali, una definizione adatta di moltiplicazione si può ottenere prendendo il modello di numero reale come taglio; a questo punto si moltiplicano i minoranti tra loro e i maggioranti tra loro e si dimostra che si ha ancora un taglio.

Per i numeri complessi, infine, abbiamo che

Meno immediato, almeno a prima vista, è il concetto che il risultato di moltiplicare nessun numero sia 1, e non zero. La cosa si ottiene subito, vedendo che un qualunque numero può vedersi come se fosse moltiplicato per il prodotto vuoto.

Una definizione ricorsiva della moltiplicazione può essere data dalle regole:

 x · 0 = 0

 x · y = x + x·(y − 1)

dove x è un numero reale, e y un numero naturale. Una volta data una definizione per i naturale, è facile estenderla agli interi, ai reali e infine ai numeri complessi.

 

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Spiego a Pandora la sottrazione

Dopo aver detto a Pandora tutto quello che riguardava l’ addizione e avergli fatto vedere il segno dell’ addizione , gli dissi – adesso ti spiego tutto quello che so sulla sottrazione e Pandora – ok , iniziai pure quando vuoi . Io allora iniziai a spiegare a Pandora tutto quello che sapevo sulla sottrazione – In matematica, la sottrazione è una delle quattro operazioni aritmetiche fondamentali. È di solito denotata con un segno meno infisso: “−”

I nomi tradizionali per i termini della sottrazione

 c − b = a

sono minuendo (c), sottraendo (b), e differenza (a).

La sottrazione viene utilizzata per modellare i tre processi fisici seguenti.

 Data una collezione di oggetti, togliere (sottrarre) un certo numero di oggetti.

 Combinare una data misura, come ad esempio un movimento verso destra o un deposito, con una misura in senso opposto, come un movimento verso sinistra o un prelievo.

 Confrontare due oggetti tra loro per trovare la loro differenza. Ad esempio, per trovare la differenza tra 800 € e 500 €, si sottrae 800−500 e si ottiene il risultato di 300 €.

Matematicamente è spesso utile vedere la sottrazione non come un’operazione separata, ma come addizione dell’opposto del sottraendo. Così, 7-3 diventa la somma di 7 e di “−3″. In questo modo, si possono applicare alla sottrazione tutte le regole familiari e la nomenclatura dell’addizione. Si consideri inoltre che la sottrazione non è commutativa né associativa, ma l’addizione di quantità con segno sì; questo significa che un matematico non userà spesso le parole “minuendo” e “sottraendo” ma considererà 7-3 come la somma degli addendi “7″ e “−3″.

La sottrazione vista graficamente

 Prendiamo un segmento di lunghezza b disegnato per terra con l’estremo di sinistra chiamato a e quello destro c.

Partendo dalla posizione a, saranno necessari b passaggi per raggiungere la posizione c. Questo movimento verso destra, chiamato addizione, può essere scritto come:

 a + b = c

Dalla posizione c, saranno necessari b passaggi per ritornare all’estremo a. Questo movimento verso sinistra, chiamato sottrazione, può essere scritto come:

 c − b = a

Immaginiamo ora un segmento le cui posizioni siano contrassegnate dai numeri 1, 2 e 3.

Dalla posizione 3, per rimanere alla posizione 3 non è necessario nessun passaggio, quindi

 3 − 0 = 3

Dalla posizione 3, per andare alla posizione 2 è necessario 1 passaggio, quindi

 3 − 1 = 2

Dalla posizione 3, per andare alla posizione 1 sono necessari 2 passaggi, quindi

 3 − 2 = 1

Cosa succederebbe se si continuasse nel processo andando per 3 volte verso sinistra dalla posizione 3? Per il nostro esempio, si andrebbe oltre la linea disegnata, cosa che non sarebbe permessa. Quindi per fare questo la linea deve essere estesa.

Per la sottrazione dei numeri naturali, la linea dovrebbe avere tutti i numeri naturali (0, 1, 2, 3, 4, …) su di essa.

Usando la linea dei numeri naturali, dalla posizione 3, tornando per 3 volte verso sinistra si raggiungerebbe la posizione 0, quindi

 3 − 3 = 0

Ma per i numeri naturali, 3 − 4 sarebbe una operazione non valida. Per eseguirla dobbiamo ulteriormente estendere la linea.

Usando la linea dei numeri interi (…, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, …), dalla posizione 3, togliendo 4 arriveremmo alla posizione −1, quindi

 3 − 4 = −1.

Proprietà invariantiva della sottrazione

 Aggiungendo uno stesso termine al minuendo e al sottraendo la differenza non cambia:

 A – B = C

 (A + D) – (B + D) = C.

 

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Faccio vedere a Pandora il segno dell’ addizione

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Spiego a Pandora l’ addizione

Dopo aver detto a Pandora tutto quello che sapevo sulle cifre , gli dissi – adesso ti spiego tutto quello so sull’ addizione e Pandora disse – ok . IO allora iniziai a spiegare a Pandora tutto quello che sapevo sull’ addizione – L’addizione è un’operazione aritmetica che a due numeri detti addendi associa un terzo numero detto somma. Questa operazione è inizialmente definita sui numeri naturali: in quel contesto, la sua definizione può essere data in termini insiemistici. Dati due numeri naturali a e b, consideriamo due insiemi A e B che abbiano, rispettivamente, a e b come numero di elementi, e che siano disgiunti (cioè non abbiano elementi in comune). Allora la somma a + b è il numero di elementi dell’insieme unione A ∪ B. Per fare un esempio concreto, se in un sacchetto abbiamo 3 mele e in un altro sacchetto abbiamo 2 mele, mettendo insieme il contenuto dei due sacchetti avremo 3 + 2 = 5 mele. Un bambino che impara a sommare usando le dita delle mani o un pallottoliere non fa altro che applicare questa definizione.

In realtà, per definire rigorosamente l’addizione in questo modo occorrerebbe anche dimostrare che il risultato dell’operazione non dipende dai particolari insiemi che si stanno considerando (che siano mele, dita, sassolini, ecc.). Esiste un modo diverso di introdurre astrattamente l’addizione fra numeri interi attraverso i postulati del’aritmetica, ad esempio nella formulazione di Giuseppe Peano.

Dall’insieme dei numeri naturali l’addizione può essere estesa agli altri insiemi numerici che lo contengono (numeri interi relativi, numeri razionali, numeri reali, numeri complessi).

Lo zero è l’elemento neutro dell’addizione.

Notazione Se i termini sono scritti individualmente, l’addizione è rappresentata dal carattere “+”, che si interpone tra un numero e l’altro. La sequenza di addendi è chiusa dal simbolo “=”. Sono addizioni valide:

 

3 + 2 = 5

998 + 1 + 1 = 1000

1 + 1 + 2 + 3 + 5 + 8 + 13 + 21 = 54

e si leggono, indifferentemente,

 “tre più due è uguale a cinque”,

 “tre più due uguale cinque”,

 o anche sottintendendo il segno di uguale, soprattutto nelle addizioni brevi, nella forma “tre più due cinque”.

Negli scritti precedenti al XVI secolo è possibile trovare un altro simbolo indicante l’addizione. Si tratta di una “P” in corsivo che rimpiazzava la parola “più”.

Il simbolo dell’addizione

Il precedente simbolo dell’addizione. Una P in corsivo.

Se i termini non sono scritti individualmente ma la sequenza degli addendi si ricava facilmente dalla scrittura, la somma si può indicare con un’ellissi (“…”) per indicare i termini mancanti: la somma dei numeri naturali da 1 a 100 si può dunque scrivere come 1 + 2 + … + 99 + 100 = 5050. In alternativa, la somma può essere rappresentata con il simbolo di sommatoria, rappresentato dalla lettera greca Sigma maiuscola. In particolare data una sequenza di numeri denotati con , la somma degli n-m+1 compresi fra quello di posizione m e quello di posizione n può essere espressa con la scrittura.

Proprietà elementari

 Per l’addizione sono valide le seguenti proprietà:

 la proprietà commutativa, la quale afferma che cambiando l’ordine degli addendi il risultato non cambia:

a + b = b + a

Ad esempio: 2 + 3 = 5 = 3 + 2 = 5

o anche

a + b + c = b + a + c = b + c + a = c + a + b = c + b + a

La proprietà commutativa: aggiungere tre mele ad un gruppo di due equivale ad aggiungerne due ad un gruppo di tre

 la proprietà associativa, la quale afferma che sostituendo due addendi con la loro somma il risultato non cambia:

a + b + c = (a + b) + c = a + (b + c)

Ad esempio: 3+5+2=10 (3+5)+2=3+(5+2)8+2 3+7

 10 = 10

La proprietà distributiva della moltiplicazione rispetto all’addizione:

k(a + b) = ka + kb

Ad esempio: 3 * (4 + 5) = (3 * 4) + (3 * 5) = 12 + 15 = 27

In colonna

Per eseguire più velocemente un’addizione fra numeri interi, è possibile incolonnare gli addendi tenendo presente la regola “unità sotto unità, decine sotto decine, centinaia sotto centinaia ecc.”. Dopodiché, sommare le cifre di una stessa colonna, partendo da destra, cioè dalle unità e, nell’eventualità che il risultato della somma su di una qualsiasi di queste colonne sia maggiore o pari a dieci, riportando il le decine di questo risultato come ulteriore addendo sulla colonna immediatamente a sinistra a quella appena calcolata. Similmente si può procedere per sommare due numeri decimali finiti.

 

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Spiego a Pandora le cifre

Dopo aver detto a Pandora tutto quello che sapevo sui numeri , gli dissi – adesso ti spiego tutto quello che so sulle cifre e Pandora – ok , iniziai a spiegare quando vuoi . Io allora iniziai a spiegare a Pandora tutto quello che sapevo sulle cifre – Una cifra (dall’arabo sifr أَلصِّفْر ʾaifr) è un simbolo utilizzato per rappresentare numeri in un sistema numerico, per esempio il 3 in 37. Il sistema numerico decimale utilizza dieci cifre per rappresentare i numeri naturali.

Contrariamente all’alfabeto latino, le cifre europee sono pronunciate in modo totalmente differente in ciascuna lingua, nonostante siano scritte allo stesso modo.

 Nei sistemi di numerazione, le cifre vengono combinate in modo da rappresentare i numeri. Se hanno un valore fissato, come ad esempio nella numerazione romana (in VIII ogni I rappresenta un’unità) si parla di notazione additiva. Altrimenti, il loro valore è determinato dalla loro posizione nel numero, e si parla di notazione posizionale (in 11 le due cifre 1 rappresentano valori diversi).Valore 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1 000 10 000

 Cifre arabe alfabetiche occidentali ابجدهوزحطيكلمنصعفضقرستثخذظغش

 Cifre arabe alfabetiche orientali ابجدهوزحطيكلمنسعفصقرشتثخذضظغ

 Cifre arabe orientali ٠١٢٣٤٥٦٧٨٩

 Cifre arabe estremo oriente ۰۱۲۳۴۵۶۷۸۹

Cifre cinesi o giapponesi

 Cifre europee 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

 Cifre greche ioniche α β γ δ ε ϛ ζ η θ ι κ λ μ ν ξ ο π ϟ ρ σ τ υ φ χ ψ ω ϡ

 Cifre ebraiche אבגדהוזחטיכלמנסעפצקרשת (ך) (ם) (ן) (ף) (ץ)

 Cifre romane I V X L C D M X

 Cifre thaï

Oltre alle cifre indicate sopra, i romani usavano le seguenti cifre:

 V = 5.000

 L = 50.000

 C = 100.000

 V = 500.000

 X = 1.000.000

 L = 5.000.000

 C = 10.000.000

 D = 50.000.000

 M = 100.000.000

 V = 5.000.000

 X = 10.000.000

 L = 50.000.000

 C = 100.000.000

 D = 500.000.000

 M = 1.000.000.000.

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Foto del diagramma di Venn visto da Pandora

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Spiego a Pandora cosa sono i numeri

Il Giorno dopo io dissi a Pandora – oggi io ti spiego i numeri e Pandora disse – ok , iniziai pure quando vuoi . Io allora iniziai a spiegare a Pandora tutto quello che sapevo sui numeri – Un numero è una entità astratta usata per descrivere una quantità. I numeri sono generalmente descritti tramite delle cifre, secondo un sistema di numerazione.

I numeri possono essere manipolati tramite le quattro operazioni fondamentali, addizione, sottrazione, moltiplicazione e divisione. Lo studio delle proprietà di queste operazioni è parte dell’algebra elementare.

Tipi di numeri

Numeri naturali

 Vi sono differenti tipi di numeri. Quelli maggiormente conosciuti sono i numeri naturali

usati per contare, il cui insieme è indicato con N. La presenza dello zero fra i numeri naturali dipende dalla convenzione scelta. Lo zero è comunque previsto dagli assiomi di Peano.

Numeri interi relativi

Se si introducono la differenza di segno e lo zero, distinguendo tra numeri positivi e numeri negativi, si ottengono i numeri interi relativi (o semplicemente interi), il cui insieme è indicato con Z:

Numeri razionali

Se i numeri interi vengono utilizzati per definire un rapporto, si ottengono i numeri razionali, cioè esprimibili tramite una frazione (ratio in latino). Ad esempio:

Numeri algebrici

I numeri algebrici sono tutti i numeri ottenibili come radici di equazioni algebriche a coefficienti interi. I numeri razionali sono tutti algebrici, ma molti numeri algebrici non sono razionali. Ad esempio:

sono numeri algebrici che non possono essere descritti tramite una frazione.

Un numero non algebrico è detto trascendente. Ad esempio, π (pi greco) ed e sono trascendenti: non è possibile ottenere π come radice di un polinomio a coefficienti interi.

 Numeri reali

 L’insieme dei numeri reali comprende tutti i numeri esprimibili, con o senza la virgola, tramite il sistema numerico decimale. I numeri reali comprendono tutti i numeri elencati precedentemente. In particolare i numeri reali si dividono in razionali e irrazionali, oppure in algebrici e trascendenti.

L’insieme dei numeri reali è simboleggiato con R.

Numeri computabili

Sono i numeri reali esprimibili con una notazione posizionale in una qualche base e sono costituiti da una sequenza finita di cifre o da una successione illimitata di cifre che può essere generata da una procedura ben definita in grado operare illimitatamente.

Numeri complessi

L’insieme dei numeri reali non è sufficiente a fornire tutte le soluzioni delle equazioni algebriche. Per esempio, l’equazione

non ha soluzioni nel campo dei numeri reali, perché in questo insieme il quadrato di un numero è sempre positivo. Per risolvere questo problema, è stata introdotta l’unità immaginaria i, tale che

Tale numero non appartiene all’insieme dei numeri reali, bensì all’insieme dei numeri complessi. Più in generale, un numero complesso è una espressione del tipo

dove i è l’unità immaginaria e a,b sono numeri reali. L’insieme dei numeri complessi è indicato con C.

I simboli che indicano gli insiemi descritti sono spesso scritti in grassetto, così:

Quaternioni

I numeri complessi sono stati estesi a loro volta, ottenendo i quaternioni, ma la moltiplicazione dei quaternioni non è dotata della proprietà commutativa.

Ottonioni

Gli ottonioni, a loro volta, estendono i quaternioni, ma questa volta, si perde la proprietà associativa. Infatti, gli unici sistemi associativi con dimensione finita oltre ai reali sono i quaternioni e i numeri complessi.

Notazione

I numeri vanno distinti dai nomi utilizzati per indicare i numeri, dato che i numeri sono dei concetti e anche se i nomi utilizzati nelle varie lingue variano i concetti rimangono sempre gli stessi. La notazione di numero come serie di cifre è definita dai sistemi di numerazione. I popoli spesso associano a dei numeri utilizzati di frequente dei nomi particolari, oltre a quelli che vengono assegnati dal sistema di numerazione, spesso questi nomi sono utilizzati in contesti specifici, un classico esempio è la dozzina.

Estensioni

 Gli ultimi sviluppi della teoria dei numeri sono stati i numeri iperreali e i numeri surreali, che estendono i numeri reali dai numeri infinitesimi fino ai numeri infinitamente grandi attraverso degli inserimenti. Mentre (normalmente) i numeri reali sono infinitamente prolungabili alla destra del punto decimale, si può anche provare a espandere i numeri anche a sinistra in modo infinito, ciò conduce ai numeri p-adici. Per gestire degli insiemi infiniti, i numeri naturali sono stati generalizzati nei numeri ordinali e nei numeri cardinali. Il primo insieme viene utilizzato per definire l’ordine di inserimento degli insieme il secondo definisce il formato di inserimento. Nel caso di insiemi finiti si equivalgono.

Le operazioni aritmetiche sui numeri sono addizione, sottrazione, moltiplicazione e divisione, queste operazioni sono state generalizzate in una branca dell’algebra chiamata algebra astratta, che contiene i concetti di gruppo, anello e campo.

Somiglianze nelle varie culture

 In molte culture la rappresentazione grafica dei numeri è assai simile. I numeri “uno”, “due” e “tre” degli antichi romani erano espressi come I, II, III (numeri romani). I cinesi usavano una notazione analoga, con le cifre in orizzontale, o in verticale, ma al contrario dei romani utilizzavano un sistema posizionale, simile al nostro attuale, con le cifre da 0 a 9. I numeri, detti tsu o hêng, cambiavano orientamento a seconda della posizione: | = | era 121, – || – ◦ era 1210. Gli tsu erano verticali, gli hêng orizzontali, i numeri sopra al cinque avevano una bacchetta disposta perpendicolarmente alle altre. Il sistema era impiegato con le bacchette da calcolo, che i cinesi manovravano a velocità tali da stupire i primi missionari nestoriani.

Tuttavia, non c’era un segno univoco per definire il quattro tra i romani, mentre per i cinesi era ||||. I romani usavano una notazione a sottrazione: esprimevano il quattro con una V preceduta da una I. La V indicava il numero cinque, il simbolo I anteposto indicava che andava sottratto, e cinque meno uno fa quattro. Nell’assegnare un simbolo particolare al cinque c’era un evidente vantaggio antropomorfico, la mano ha cinque dita ma vi era anche una motivazione nascosta che coinvolgeva il nostro cervello. Gli psicologi hanno dimostrato che il nostro cervello ha difficoltà a distinguere più di cinque simboli simili vicini: infatti provate con uno sguardo a dire se è più grande ||||||||| o |||||||||||; più semplice dirlo se scritti come IX e X.

Il sistema adottato adesso in Europa è il sistema di numerazione decimale, detto anche di numerazione araba, che in realtà proviene dall’India, e molto probabilmente deriva a sua volta dai numeri corsivi egiziani, i numeri copti. La cifra 1 è molto simile al simbolo romano, 2 e 3 sono delle varianti dello stesso simbolo che consentono di scrivere i numeri senza dover alzare la penna e quindi consentono una scrittura rapida ma comunque conservano l’idea della linea orizzontale, mentre col simbolo 4 la corrispondenza si perde.