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Foto del simbolo della divisione visto da Kratos e Pandora

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Spiego a Kratos il simbolo della divisione

Dopo aver detto a Kratos tutto sul segno per e dopo averlo fatto vedere a Kratos , gli dissi – adesso ti spiego tutto sul segno diviso e Kratos disse – comincia quando vuoi . Dopo pochi minuti io dissi a Kratos sul segno del divisione – In matematica ci sono diversi simboli o per meglio dire notazioni per indicare l’operazione aritmetica della divisione:

 

 I due punti ( m:n ), identico all’omologo simbolo di interpunzione, usato per lo più nella rappresentazione in linea e per indicare il concetto di rapporto o della operazione nel suo ambito più elementare tra enti quasi sempre numerici detti nell’ordine dividendo e divisore.

 

 La linea di frazione ( ) è una rappresentazione graficamente più ingombrante delle prima, utilizzata in un contesto non più elementare, che prevede la disposizione in colonna degli operandi che ora vengono detti numeratore (sopra) e denominatore (sotto). Quando si ha necessità di distribuire il testo ancora in forma lineare, la linea di frazione viene trasformata in una barra diagonale ( m / n ).

 

 Altre volte è possibile trovare l’obelo (÷), un simbolo, per così dire, riepilogativo dei due precedenti, formato dalla sovrapposizione di due punti e di una lineetta centrale; il simbolo, oggi più che usato sul piano operativo, è presente sulle calcolatrici per indicare appunto l’operazione di divisione.

 

La forma più adoperata è comunque la prima, ed è soprattutto in quel caso e nel secondo che esso viene chiamato “diviso”: negli altri si preferisce spesso usare il termine “fratto”.

 

Utilizzo

 

 L’uso più ampio del diviso è ovviamente la divisione, come mostrato dalla breve e semplice formula matematica scritta più sopra; è infatti proprio da questo genere di operazione matematica che il diviso prende il suo nome.

 

Sempre in matematica, il diviso è inoltre adoperato nelle proporzioni, dove però cambia lettura; il rapporto sottostante, infatti, si legge 5 sta a 2 come 10 sta a 4. L’uso di tale simbolo in questo caso deriva dal fatto che una proporzione non è altro che un’uguaglianza tra due divisioni.

 

5 : 2 = 10: 4

 

In matematica il diviso può possedere anche un terzo diverso significato: nella scrittura

 

(che si legge «per ogni x appartenente a N esiste ed è unico un numero y appartenente a N tale che y al quadrato è uguale a x». Questo prende il senso del gruppo di parole «tale che».

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Spiego a Kratos la divisione

Dopo aver detto a Kratos tutto sulla moltiplicazione , gli dissi – adesso ti spiego tutto sulla divisione e Kratos disse – comincia quando vuoi . Dopo pochi minuti io dissi a Kratos tutto sulla divisione – In matematica, specialmente in aritmetica elementare, la divisione è l’operazione aritmetica inversa della moltiplicazione.

 

Più specificatamente, se

 

 a × b = c,

 

dove b è diverso da zero, allora

 

 a = c : b

 

(da leggersi “c diviso b”). Ad esempio, 6 : 3 = 2, dato che 2 × 3 = 6.

 

La divisione per zero non viene definita.

 

Nell’espressione sopra, a rappresenta il quoziente (quoto nel caso di divisione senza resto), b il divisore (cioè la quantità che divide) e c il dividendo (cioè la quantità da dividere).

 

La divisione gode della proprietà invariantiva ovvero il quoziente non cambia se dividendo e divisore sono moltiplicati per una stessa quantità diversa da zero (il resto invece risulta moltiplicato per quella quantità).

 

L’espressione c : b viene anche scritta “c/b” (letta “c su b”, o “c fratto ‘b”, o “c b-esimi” ; se b è un intero positivo diverso da 2 questo si legge come ordinale, plurale se c è diverso da 1, es. 2/3 si legge “due terzi” ma 3/2 si legge “tre mezzi”), specialmente nelle matematiche superiori, incluse le applicazioni alla scienza e all’ingegneria, e nei linguaggi di programmazione. Tale forma viene anche spesso usata come forma finale di una frazione.

 

La divisione fra due numeri interi a e b, con b≠0, consiste invece nel trovare una coppia di interi q ed r, detti quoziente e resto, tali che a = b × q + r e 0 ≤ r < | b |. (Si dimostra che tale coppia di interi esiste ed è unica). Quando r = 0, il risultato della divisione q viene talvolta detto quoto.

 

In inglese, il simbolo della divisione ha una barretta orizzontale tra i due punti: c ÷ b. In italiano questo uso si è perso[senza fonte], probabilmente perché le macchine da scrivere prima e i calcolatori poi non permettono di digitare direttamente tale simbolo[senza fonte]; nell’uso inglese, invece, i due punti si utilizzano solo per il concetto correlato di rapporto.

 

Computazione della divisione

 

 Utilizzando la tavola pitagorica, si possono dividere due numeri interi con carta e penna.

 

Se il dividendo ha una parte frazionaria espressa come frazione decimale, si può continuare l’algoritmo dopo le unità; se è il divisore ad avere una parte frazionaria, basta spostare la virgola a destra dello stesso numero di posizioni – aggiungendo se necessario degli zeri a destra del dividendo – fino a che il divisore diventa un numero intero. Pertanto, per fare la divisione 245,7 : 3,78 si eseguirà quella equivalente 24570 : 378.

 

Un’altra possibilità che si ha per semplificare i conti è vedere se dividendo e divisore abbiano un fattore comune, ed eliminarlo; la divisione di cui sopra è dunque equivalente a 12285 : 189 (eliminando il fattore 9) e ancora a 1365 : 21 (eliminando un fattore 3), 455 : 7 (con un fattore 7), da cui si ottiene subito il risultato finale 65.

 

Si può calcolare la divisione con un abaco, scrivendo ripetutamente il dividendo e sottraendo man mano il divisore, spostato a sinistra quanto più possibile. Ogni volta che occorre riportare a destra il divisore, si passerà a una nuova cifra anche per il quoziente. Il procedimento risulta pertanto abbastanza simile a quello della divisione su carta, anche se in quel caso c’è la scorciatoia di utilizzare delle moltiplicazioni per ridurre il numero di sottrazioni necessarie.

 

Nella aritmetica modulare, alcuni numeri hanno un inverso moltiplicativo rispetto al modulo: ad esempio, in base 7, 3 ha come inverso 5. In questo caso, la divisione per 3 può essere calcolata moltiplicando per 5; questo approccio è utile in computer che non hanno una istruzione di divisione veloce.

 

Divisione tra interi

 

 La divisione tra interi – anche non considerando la divisione per zero, che non è definita, non è un’operazione chiusa; vale a dire, esistono coppie di numeri a e b tali che non esiste alcun intero c per cui a : b = c. In questi casi si possono dare diverse possibili risposte:

 

 Come per ogni operazione non chiusa si può dare semplicemente la non definizione dell’operazione: 39 non può essere diviso per 15.

 

 Si può immergere l’insieme dei numeri interi in un insieme in cui l’operazione è chiusa (nel nostro caso si utilizzano tipicamente il campo dei razionali o dei reali) e dare la risposta in questo nuovo insieme: ad esempio 39 : 15 = 2,6, oppure .

 

 Si può dare la risposta sotto forma di quoziente e resto usando la divisione euclidea (si veda anche dominio euclideo): nel nostro esempio si scriverà 39 : 15 = 2 con resto 9. Questo è l’approccio che si usa quando vengono insegnate le divisioni nella scuola elementare.

 

 Da ultima, è molto utilizzata pure la divisione intera, ovvero considerare solamente il quoziente come risposta, eliminando il resto: 39 : 15 = 2. Chiaramente questa operazione non è più l’operazione inversa della moltiplicazione.

 

Quando si fa una divisione tra interi in un linguaggio di programmazione occorre verificare attentamente la definizione. Nel linguaggio C, ad esempio, la divisione tra interi è definita come nel caso 4 qui sopra, e il risultato sarà pertanto un intero troncato; in altri linguaggi come MATLAB, invece, si inizia a convertire gli interi in numeri reali (o più correttamente numeri di macchina), e si ottiene così un numero reale come risposta, come nel caso 2 sopra.

 

Divisione di numeri razionali

 

A differenza del caso precedente, i numeri razionali sono chiusi rispetto alla divisione, se il divisore non è 0. Si può definire il risultato della divisione tra due numeri razionali p/q e r/s come il valore

 

Tutti e quattro i valori sono interi, e solo p può valere 0. Questa definizione assicura che la divisione è l’operazione inversa della moltiplicazione: si ricava infatti subito che

 

Casi particolari della divisione

 

I casi particolari riguardano l’operazione di divisione quando 0 è il dividendo o il divisore. Il risultato di queste operazioni può essere indeterminato oppure impossibile. Detto a un qualsiasi numero reale diverso da zero, vale che:

 

 Caso 1: 0 : a = 0

 

Si verifica facilmente grazie alla definizione: l’unico numero che moltiplicato per un numero non nullo dà zero è lo zero stesso in quanto vale la legge di annullamento del prodotto.

 

 Caso 2: a : 0 = ?

 

 Caso 3: 0 : 0 = ?

 

Anche in questi due ultimi casi, il metodo per risolvere l’impasse è considerare la definizione dell’operazione di divisione, cioè come l’inverso della moltiplicazione. Risolvere i casi 2 e 3 equivale a cercare la soluzione dell’equazione 0 × x = a; questa ha:

 

 nessuna soluzione se a è diverso da 0 (caso 2): non esiste un risultato della divisione di a per 0, l’operazione è impossibile;

 

 infinite soluzioni se a è uguale a 0 (caso 3): l’operazione 0 : 0 è indeterminata o indefinita.

 

Divisione di numeri reali

 

Il risultato della divisione di due numeri reali è un altro numero reale, se il divisore non è 0. Dati a e b, si definisce a/b = c se e solo se a = cb e b ≠ 0.

 

Divisione di numeri complessi

 

 Anche per i numeri complessi, così come per i numeri reali, la divisione è un’operazione chiusa eccetto il caso in cui il divisore sia zero, nel qual caso l’operazione non è definita.

 

Se si esprimono i numeri complessi con le comuni coordinate, il risultato della divisione di (p + iq) per (r + is), dove p, q, r e s sono numeri reali e r e s non possono essere entrambi nulli, è dato da

 

Se i numeri complessi sono espressi mediante le coordinate polari, l’espressione è più semplice da esprimere e ricordare: il risultato della divisione tra peiq e reis, con p, q, r e s numeri interi e r diverso da zero, è dato da

 

Divisione di polinomi

 

La divisione tra due polinomi (a coefficienti interi) può anch’essa venire definita come l’operazione inversa della moltiplicazione: come nel caso dei numeri interi, generalmente si otterrà un polinomio quoziente e un resto. Per maggiori informazioni su come viene condotta l’operazione, si veda la regola di Ruffini.

 

Divisione in algebra astratta

 

Nelle algebre astratte, come quella delle matrici e nei quaternioni, frazioni come sono tipicamente definite come oppure , quando b è un elemento invertibile (vale a dire, esiste un altro elemento c tale che bc = cb = 1, dove 1 è l’identità moltiplicativa; l’elemento c viene generalmente scritto come b−1). In un dominio d’integrità, in cui possono non esistere gli inversi, più che di “divisione” si può parlare di cancellazione, nelle equazioni della forma ab = ac o ba = ca, dove a viene cancellato da entrambi i membri; la cancellazione (sinistra o destra rispettivamente) può essere effettuata in un ogni anello.

 

Divisione ed analisi matematica

 

 La funzione quoziente di due funzioni f e g è la funzione h il cui valore in un punto x è dato da . È definita nell’intersezione dei due domini di f e g, ad eccezione dei valori x che annullano la g.

 

La derivata del quoziente di due funzioni è data dalla regola del quoziente:

 

Non esiste una regola generale per integrare il quoziente di due funzioni.

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Faccio vedere a Pandora il segno della divisione

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Spiego a Pandora i simboli della divisione

Dopo aver spiegato a Pandora tutto quello che sapevo sul segno per , gli dissi – adesso ti spiego tutto quello che so sul segno diviso e Pandora – ok , inizia pure quando vuoi . Io allora iniziai a dire a Pandora tutto quello che sapevo sul simbolo della divisione – In matematica ci sono diversi simboli o per meglio dire notazioni per indicare l’operazione aritmetica della divisione:

 I due punti ( m:n ), identico all’omologo simbolo di interpunzione, usato per lo più nella rappresentazione in linea e per indicare il concetto di rapporto o della operazione nel suo ambito più elementare tra enti quasi sempre numerici detti nell’ordine dividendo e divisore.

 La linea di frazione ( ) è una rappresentazione graficamente più ingombrante delle prima, utilizzata in un contesto non più elementare, che prevede la disposizione in colonna degli operandi che ora vengono detti numeratore (sopra) e denominatore (sotto). Quando si ha necessità di distribuire il testo ancora in forma lineare, la linea di frazione viene trasformata in una barra diagonale ( m / n ).

 Altre volte è possibile trovare l’obelo (÷), un simbolo, per così dire, riepilogativo dei due precedenti, formato dalla sovrapposizione di due punti e di una lineetta centrale; il simbolo, oggi più che usato sul piano operativo, è presente sulle calcolatrici per indicare appunto l’operazione di divisione.

La forma più adoperata è comunque la prima, ed è soprattutto in quel caso e nel secondo che esso viene chiamato “diviso”: negli altri si preferisce spesso usare il termine “fratto”.

Utilizzo

 L’uso più ampio del diviso è ovviamente la divisione, come mostrato dalla breve e semplice formula matematica scritta più sopra; è infatti proprio da questo genere di operazione matematica che il diviso prende il suo nome.

Sempre in matematica, il diviso è inoltre adoperato nelle proporzioni, dove però cambia lettura; il rapporto sottostante, infatti, si legge 5 sta a 2 come 10 sta a 4. L’uso di tale simbolo in questo caso deriva dal fatto che una proporzione non è altro che un’uguaglianza tra due divisioni.

5 : 2 = 10: 4

In matematica il diviso può possedere anche un terzo diverso significato: nella scrittura

(che si legge «per ogni x appartenente a N esiste ed è unico un numero y appartenente a N tale che y al quadrato è uguale a x». Questo prende il senso del gruppo di parole «tale che».

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Spiego a Pandora la divisione

Dopo aver spiegato a Pandora tutto quello che sapevo sulla moltiplicazione , gli dissi – adesso ti spiego tutto quello che so sulla divisione e Pandora – ok , inizia pure a spiegare quando vuoi . Io allora iniziai a spiegare a Pandora tutto quello che so sulla divisione – In matematica, specialmente in aritmetica elementare, la divisione è l’operazione aritmetica inversa della moltiplicazione.

Più specificatamente, se

 a × b = c,

dove b è diverso da zero, allora

 a = c : b

(da leggersi “c diviso b”). Ad esempio, 6 : 3 = 2, dato che 2 × 3 = 6.

La divisione per zero non viene definita.

Nell’espressione sopra, a rappresenta il quoziente (quoto nel caso di divisione senza resto), b il divisore (cioè la quantità che divide) e c il dividendo (cioè la quantità da dividere).

La divisione gode della proprietà invariantiva ovvero il quoziente non cambia se dividendo e divisore sono moltiplicati per una stessa quantità diversa da zero (il resto invece risulta moltiplicato per quella quantità).

L’espressione c : b viene anche scritta “c/b” (letta “c su b”, o “c fratto ‘b”, o “c b-esimi” ; se b è un intero positivo diverso da 2 questo si legge come ordinale, plurale se c è diverso da 1, es. 2/3 si legge “due terzi” ma 3/2 si legge “tre mezzi”), specialmente nelle matematiche superiori, incluse le applicazioni alla scienza e all’ingegneria, e nei linguaggi di programmazione. Tale forma viene anche spesso usata come forma finale di una frazione.

La divisione fra due numeri interi a e b, con b≠0, consiste invece nel trovare una coppia di interi q ed r, detti quoziente e resto, tali che a = b × q + r e 0 ≤ r < | b |. (Si dimostra che tale coppia di interi esiste ed è unica). Quando r = 0, il risultato della divisione q viene talvolta detto quoto.

In inglese, il simbolo della divisione ha una barretta orizzontale tra i due punti: c ÷ b. In italiano questo uso si è perso[senza fonte], probabilmente perché le macchine da scrivere prima e i calcolatori poi non permettono di digitare direttamente tale simbolo[senza fonte]; nell’uso inglese, invece, i due punti si utilizzano solo per il concetto correlato di rapporto.

Computazione della divisione

 Utilizzando la tavola pitagorica, si possono dividere due numeri interi con carta e penna.

Se il dividendo ha una parte frazionaria espressa come frazione decimale, si può continuare l’algoritmo dopo le unità; se è il divisore ad avere una parte frazionaria, basta spostare la virgola a destra dello stesso numero di posizioni – aggiungendo se necessario degli zeri a destra del dividendo – fino a che il divisore diventa un numero intero. Pertanto, per fare la divisione 245,7 : 3,78 si eseguirà quella equivalente 24570 : 378.

Un’altra possibilità che si ha per semplificare i conti è vedere se dividendo e divisore abbiano un fattore comune, ed eliminarlo; la divisione di cui sopra è dunque equivalente a 12285 : 189 (eliminando il fattore 9) e ancora a 1365 : 21 (eliminando un fattore 3), 455 : 7 (con un fattore 7), da cui si ottiene subito il risultato finale 65.

Si può calcolare la divisione con un abaco, scrivendo ripetutamente il dividendo e sottraendo man mano il divisore, spostato a sinistra quanto più possibile. Ogni volta che occorre riportare a destra il divisore, si passerà a una nuova cifra anche per il quoziente. Il procedimento risulta pertanto abbastanza simile a quello della divisione su carta, anche se in quel caso c’è la scorciatoia di utilizzare delle moltiplicazioni per ridurre il numero di sottrazioni necessarie.

Nella aritmetica modulare, alcuni numeri hanno un inverso moltiplicativo rispetto al modulo: ad esempio, in base 7, 3 ha come inverso 5. In questo caso, la divisione per 3 può essere calcolata moltiplicando per 5; questo approccio è utile in computer che non hanno una istruzione di divisione veloce.

Divisione tra interi

 La divisione tra interi – anche non considerando la divisione per zero, che non è definita, non è un’operazione chiusa; vale a dire, esistono coppie di numeri a e b tali che non esiste alcun intero c per cui a : b = c. In questi casi si possono dare diverse possibili risposte:

 Come per ogni operazione non chiusa si può dare semplicemente la non definizione dell’operazione: 39 non può essere diviso per 15.

 Si può immergere l’insieme dei numeri interi in un insieme in cui l’operazione è chiusa (nel nostro caso si utilizzano tipicamente il campo dei razionali o dei reali) e dare la risposta in questo nuovo insieme: ad esempio 39 : 15 = 2,6, oppure .

 Si può dare la risposta sotto forma di quoziente e resto usando la divisione euclidea (si veda anche dominio euclideo): nel nostro esempio si scriverà 39 : 15 = 2 con resto 9. Questo è l’approccio che si usa quando vengono insegnate le divisioni nella scuola elementare.

 Da ultima, è molto utilizzata pure la divisione intera, ovvero considerare solamente il quoziente come risposta, eliminando il resto: 39 : 15 = 2. Chiaramente questa operazione non è più l’operazione inversa della moltiplicazione.

Quando si fa una divisione tra interi in un linguaggio di programmazione occorre verificare attentamente la definizione. Nel linguaggio C, ad esempio, la divisione tra interi è definita come nel caso 4 qui sopra, e il risultato sarà pertanto un intero troncato; in altri linguaggi come MATLAB, invece, si inizia a convertire gli interi in numeri reali (o più correttamente numeri di macchina), e si ottiene così un numero reale come risposta, come nel caso 2 sopra.

Divisione di numeri razionali

A differenza del caso precedente, i numeri razionali sono chiusi rispetto alla divisione, se il divisore non è 0. Si può definire il risultato della divisione tra due numeri razionali p/q e r/s come il valore

Tutti e quattro i valori sono interi, e solo p può valere 0. Questa definizione assicura che la divisione è l’operazione inversa della moltiplicazione: si ricava infatti subito che

Casi particolari della divisione

I casi particolari riguardano l’operazione di divisione quando 0 è il dividendo o il divisore. Il risultato di queste operazioni può essere indeterminato oppure impossibile. Detto a un qualsiasi numero reale diverso da zero, vale che:

 Caso 1: 0 : a = 0

Si verifica facilmente grazie alla definizione: l’unico numero che moltiplicato per un numero non nullo dà zero è lo zero stesso in quanto vale la legge di annullamento del prodotto.

 Caso 2: a : 0 = ?

 Caso 3: 0 : 0 = ?

Anche in questi due ultimi casi, il metodo per risolvere l’impasse è considerare la definizione dell’operazione di divisione, cioè come l’inverso della moltiplicazione. Risolvere i casi 2 e 3 equivale a cercare la soluzione dell’equazione 0 × x = a; questa ha:

 nessuna soluzione se a è diverso da 0 (caso 2): non esiste un risultato della divisione di a per 0, l’operazione è impossibile;

 infinite soluzioni se a è uguale a 0 (caso 3): l’operazione 0 : 0 è indeterminata o indefinita.

Divisione di numeri reali

Il risultato della divisione di due numeri reali è un altro numero reale, se il divisore non è 0. Dati a e b, si definisce a/b = c se e solo se a = cb e b ≠ 0.

Divisione di numeri complessi

 Anche per i numeri complessi, così come per i numeri reali, la divisione è un’operazione chiusa eccetto il caso in cui il divisore sia zero, nel qual caso l’operazione non è definita.

Se si esprimono i numeri complessi con le comuni coordinate, il risultato della divisione di (p + iq) per (r + is), dove p, q, r e s sono numeri reali e r e s non possono essere entrambi nulli, è dato da

Se i numeri complessi sono espressi mediante le coordinate polari, l’espressione è più semplice da esprimere e ricordare: il risultato della divisione tra peiq e reis, con p, q, r e s numeri interi e r diverso da zero, è dato da

Divisione di polinomi

La divisione tra due polinomi (a coefficienti interi) può anch’essa venire definita come l’operazione inversa della moltiplicazione: come nel caso dei numeri interi, generalmente si otterrà un polinomio quoziente e un resto. Per maggiori informazioni su come viene condotta l’operazione, si veda la regola di Ruffini.

Divisione in algebra astratta

Nelle algebre astratte, come quella delle matrici e nei quaternioni, frazioni come sono tipicamente definite come oppure , quando b è un elemento invertibile (vale a dire, esiste un altro elemento c tale che bc = cb = 1, dove 1 è l’identità moltiplicativa; l’elemento c viene generalmente scritto come b−1). In un dominio d’integrità, in cui possono non esistere gli inversi, più che di “divisione” si può parlare di cancellazione, nelle equazioni della forma ab = ac o ba = ca, dove a viene cancellato da entrambi i membri; la cancellazione (sinistra o destra rispettivamente) può essere effettuata in un ogni anello.

Divisione ed analisi matematica

 La funzione quoziente di due funzioni f e g è la funzione h il cui valore in un punto x è dato da . È definita nell’intersezione dei due domini di f e g, ad eccezione dei valori x che annullano la g.

La derivata del quoziente di due funzioni è data dalla regola del quoziente:

Non esiste una regola generale per integrare il quoziente di due funzioni.