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Faccio vedere a Pandora il segno per

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Spiego a Pandora il segno per

Il Giorno dopo io dissi a Pandora – oggi ti spiego tutto quello che so sul segno per e Pandora disse – ok , iniziai a spiegare tutto quello che sai sul segno per . Dopo iniziai a spiegare a Pandora tutto quello che sapevo sul segno per – l per è uno dei simboli matematici più adoperati in assoluto; esso esiste in diverse forme tipografiche, la più comune delle quali è ×.

La prima, nell’immagine, simile ad una lettera x minuscola (in realtà una croce greca ruotata di un ottavo di giro); in aritmetica è senz’altro quella più adoperata. Tale simbolo è stato introdotto nel 1631 dal matematico inglese William Oughtred.

La seconda, invece, è un punto da sistemare tra gli elementi moltiplicati: esso si utilizza soprattutto in algebra, dove il segno × si potrebbe confondere con un’incognita. Un’ulteriore semplificazione di questo sistema consiste nel non scrivere alcun simbolo tra gli elementi letterali, che dunque si considerano automaticamente moltiplicati; ovviamente ciò non è applicabile nel caso di un prodotto tra cifre, perché il loro avvicinamento farebbe leggere un unico numero, diverso da quelli desiderati.

Tipograficamente, al posto del per è spesso adoperato un asterisco, specie nei testi scritti al computer; ciò avviene qualora non si desideri inserire la lettera “x” al posto del segno matematico e quando tale simbolo non è presente sulla tastiera.

Quindi

a x b = a x b = ab = a* b

Utilizzo

Il per viene adoperato, in matematica, come simbolo di moltiplicazione: due numeri scritti alla destra e alla sinistra di un segno per, detti fattori, vanno perciò moltiplicati per ottenere il prodotto.

Abbreviazioni

Il per è anche usato in lingua italiana, specie dai più giovani, che sovente abbreviano le parole onde risparmiare tempo con simboli matematici: ad esempio, la scrittura “xò” (lett. per-ò) in gergo giovanile indica la congiunzione “però”, mentre “xk” (lett. per-ché) significa “perché”. Questo uso non è incoraggiato né permesso dalla grammatica, ma è comunque molto sfruttato nelle chat e nelle altre comunicazioni scritte tra giovani.

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Spiego a Pandora la moltiplicazione

Dopo aver detto a Pandora tutto quello che sapevo sulla sottrazione , gli dissi – adesso ti spiego tutto quello che so sulla moltiplicazione e Pandora – ok , iniziai a spiegare quando vuoi tu . Io allora iniziai a spiegare a Pandora tutto quello che sapevo sulla moltiplicazione – La moltiplicazione è una delle quattro operazioni fondamentali dell’aritmetica. È un modo rapido per rappresentare la somma di numeri uguali. Il risultato di una moltiplicazione è chiamato prodotto, mentre i due numeri moltiplicati sono detti fattori se considerati insieme, e rispettivamente moltiplicando e moltiplicatore se presi individualmente.

Notazione

Nella scrittura matematica, esistono due diversi simboli utilizzati per indicare la moltiplicazione: entrambe le seguenti notazioni significano “cinque volte due” ed entrambe si leggono “cinque per due”: 5 x 2 . Qualora i due moltiplicandi non siano scritti in cifre, e quindi non ci sia il rischio di equivoco, è possibile anche semplicemente giustapporli, come in:

 2(β + 2) ;

anche per leggere queste formule vale lo stesso principio: se non c’è rischio di equivoco si può omettere il “per”, come nella prima (“due beta”), altrimenti verrà detto, come nella seconda (“due per, aperta parentesi, beta più due, chiusa parentesi” o “due per, tra parentesi, beta più due”)o infine “due che moltiplica beta più due”.

Nei linguaggi di programmazione e nelle calcolatrici, la moltiplicazione viene solitamente indicata con l’asterisco (“*”), grazie ad una consuetudine nata dal linguaggio di programmazione FORTRAN[senza fonte].

Definizione per numeri naturali

 La definizione del prodotto di due numeri interi positivi n e m non è altro che:

o per dirla in maniera più naturale, ” m volte n”, come si può vedere espandendo la sommatoria:

 m × n = n + n + n + … + n

Quindi per esempio

 5 × 2 = 2 + 2 + 2 + 2 + 2 = 10

 2 × 5 = 5 + 5 = 10

 4 × 3 = 3 + 3 + 3 + 3 = 12

 6 × m = m + m + m + m + m + m

Proprietà algebriche

 A partire dalla definizione, è facile dimostrare che la moltiplicazione ha le proprietà:

 Proprietà commutativa

 Non ha importanza l’ordine con cui vengono moltiplicati due numeri. Infatti, per ogni coppia di numeri x e y,

È importante sottolineare che questa proprietà vale solo per i numeri (interi, razionali, reali, complessi), ma non vale sempre, ad esempio non vale quando si moltiplicano tra loro matrici e quaternioni.

 Proprietà associativa

 Per ogni terna di numeri x, y e z,

cioè non è importanza l’ordine con cui vengono eseguite le operazioni se queste coinvolgono solo le moltiplicazioni.

 Proprietà distributiva rispetto all’addizione

 Si può “distribuire” la moltiplicazione ai vari addendi di una somma:

Esistenza dell’identità

 Ogni numero moltiplicato per 1 è pari a se stesso:

Il numero 1 è detto anche elemento neutro per la moltiplicazione.

 Elemento zero

 La moltiplicazione di qualsiasi numero per zero ha zero come risultato:

per un qualunque x (finito).

 Questa definizione è coerente con la proprietà distributiva, infatti:

Esistenza dell’inverso

 Qualsiasi numero x, ad eccezione dello zero, ha un inverso rispetto alla moltiplicazione, , cioè un numero definito in modo tale che: x x ( 1/x) = 1 .

La moltiplicazione con gli assiomi di Peano

Nel libro Arithmetices principia, nova methodo exposita, Giuseppe Peano propose un nuovo sistema assiomatico per la moltiplicazione, basato sugli assiomi per i numeri naturali: a x 1= a , a x b = ( a x b ) +b .

Qui b’ rappresenta l’elemento dei numeri naturali successivo di b. Con gli altri nove assiomi di Peano, è possibile provare le regole comuni della moltiplicazione, come la proprietà distributiva e associativa. Questa nuova assiomatizzazione permette anche di costruire una possibile definizione ricorsiva della moltiplicazione.

Numeri negativi

Estendiamo l’operazione di moltiplicazione al caso dei numeri negativi, definendo quanto segue: dato x numero naturale

dove con – x si intende l’inverso additivo di x :

Da qui abbiamo che la moltiplicazione di interi qualunque si riduce alla moltiplicazione di interi positivi e di − 1.

La regola pratica “meno per meno fa più” ha un’interpretazione anche nella vita reale. Supponiamo di guadagnare m euro l’anno; tra n anni avremo mn euro (un numero positivo), mentre se questo guadagno era iniziato nel passato allora n anni fa (cioè “tra meno n anni”) avevamo mn euro in meno (un numero negativo). Se invece perdessimo m euro l’anno (cioè guadagnassimo “meno m euro”), tra n anni ne avremo mn in meno, ma n anni fa ne avevamo mn in più di quanti ne abbiamo ora!

 Numeri razionali, reali e complessi

 La definizione di moltiplicazione si può infine estendere ai numeri razionali, ai numeri reali, e ai numeri complessi.

Per i numeri razionali abbiamo che

Per i numeri reali, una definizione adatta di moltiplicazione si può ottenere prendendo il modello di numero reale come taglio; a questo punto si moltiplicano i minoranti tra loro e i maggioranti tra loro e si dimostra che si ha ancora un taglio.

Per i numeri complessi, infine, abbiamo che

Meno immediato, almeno a prima vista, è il concetto che il risultato di moltiplicare nessun numero sia 1, e non zero. La cosa si ottiene subito, vedendo che un qualunque numero può vedersi come se fosse moltiplicato per il prodotto vuoto.

Una definizione ricorsiva della moltiplicazione può essere data dalle regole:

 x · 0 = 0

 x · y = x + x·(y − 1)

dove x è un numero reale, e y un numero naturale. Una volta data una definizione per i naturale, è facile estenderla agli interi, ai reali e infine ai numeri complessi.